讲经说法捕捉灵感之9

（许兴华数学/选编）

讲经说法捕捉灵感之9

——从分析解题过程学解题 

(广东深圳育才中学  王扬)

前面笔者已经连续发表过《从一道不等式的证明看如何获得思维方法的灵感》系列1—3，和讲经说法捕捉灵感之4—8，故本文作为系列（9），但是思考再三，觉得标题不大妥当，故从席列4开始改名为讲经说法捕捉灵感——从分析解题过程学解题之系列，顾名思义，就是通过一些典型问题来讲解命题与解题的经验与方法，系列文章的宗旨仍然是和大家一起探索数学问题的由来以及解法的获得过程，基本素材我们将大多选择一些竞赛题目或经典题目为蓝本，展示问题以及解法的渊源，第一阶段，我们将选择一些不等式问题展开，后面我们还将选择一些平面几何赛题进行展开，敬请关注.

今天我们将从一道熟悉的竞赛分式不等式以及解答过程，从分析该题的解决过程为大家展示如何发现一道好题，又如何完成一道好题的证明过程，从而让读者也能领悟到一些命题与解题的方法，不妥之处，请大家批评指正.

题目解说：本题为2000越南竞赛。

渊源探索：仔细分析上题的解题过程——即学会《从分析解题过程学解题》学编题。

方法透析：仔细分析上题的解题过程（如果照着上题的配方样子进行操作，显然不行，想想还有什么样子的配方）——即学会《从分析解题过程学解题》学解题。

证明：由柯西不等式

题目解说：本题为2010年全国高中数学联赛——B加试题三、本题满分50分。

渊源探索：仔细分析上题的解题过程——即学会《从分析解题过程学解题》学编题，上题考虑的是两个根式相乘，那么三个根式直接乘起来有什么结果？

方法透析：仔细分析上题的解题过程（如果照着上题的配方样子进行操作，显然不行，想想还有什么样子的配方）——即学会《从分析解题过程学解题》学解题。

证明一：首先证明左边不等式.

这是最迷人的方法，世界上不会再有更好的方法了！而利用费尔马点的性质定理的证明是十分可憎的，感兴趣的人无妨一试.

这就是原不等式中各变量均为正数时的结论.综上知道原命题对于任意三个实数均成立.

评注：若进一步想到三角形中的恒等式

评注：本题的证明也可以运用四阶行列式简单的表示为

评注：本题的解答基本上是沿用上题的证明过程，有人可能会问，这个题目怎么来的？仔细回味上题的结构，一个是从等比数列角度去理解，另一个则是站在平均值的角度去考虑，这样从两个方面去理解便获得不同的问题，这就是从分析解题过程学编题.

可见，对一道已有题目的解答过程以及题目结构的进行有效透彻的分析，是提高解题能力和命题能力的重要标志，将这个至关重要环节经常运用于我们的编拟题目以及解题过程，我们的解题能力不提高可能也难.

笔者为何要写解题方法分析，请看笔者的新作品《从分析解题过程学解题》的前言介绍，这就是笔者写此类文章的初衷.

可见，对一道已有题目的解答过程进行有效透彻的分析，是提高解题能力的重要标志，将这个至关重要环节经常运用于我们的编拟题目以及解题过程，我们的解题能力不提高可能也难.

笔者为何要写解题方法分析，请看笔者的新作品《从分析解题过程学解题》的前言介绍，这就是笔者写此类文章的初衷.

【从分析解题过程学解题——竞赛中的几何问题研究.】在浩瀚的数学典籍里，无处不在讨论数学解题，更有不少的书籍谈论解题方法，也有很多老师给学生讲解精湛的数学解题艺术，但是大部分人还是感到困惑，一是这么多优美的题目如何得来？二是那么多奇妙的解法又是如何获得的？特别是许多竞赛题好像都十分陌生，解法也千奇百怪！伴随的奇妙方法又是如何想出来的？如此等等的问题，令人百思不得其解.

从笔者读到的关于解题的书籍来看，大部分都是题解式的，即只给出题目和解答，尤其是较难的题目，读者往往看后不知所措，于是便产生问题——解法是如何想到的？我如何能够编拟这样的好题？并给出一些好的解法？本书将告诉你一些诀窍.

还有更多的青年教师，对数学竞赛辅导具有浓厚的兴趣，希望通过培养学生提高自己的解题能力，但是由于竞赛题目之难，一时半刻也找不到合适的突破口，怎么办？本书可能是你的好助手.

笔者以为，数学解题需要从如下几个方向去思考，解决完一个问题后不要急于收手，而要继续做以下几个方面的工作：第一，回顾问题解决过程中所用的知识；第二，抓住解决问题所用的技巧和关键；第三，总结解决问题所用的方法；第四，思考与本问题相关的问题还有哪些？第五，认真回顾问题的来历；第六，问题的结论和方法有何应用？——问题的工具作用；第七，问题还可以演变出哪些其他的好问题？——题目的进一步发展前景.以上这些都要做出书面资料整理出来，如果能够长此以往地坚持，相信你的数学解题能力必能突飞猛进.

本书将秉承上述思路，并尽力展示“从分析解题过程学解题——我的解题观”，引导读者从发现问题、解决问题的轨道上一起去思考，一起去探索，一起去发现，一起去解决，获得发现问题并解决问题的快乐，尽快将我们的解题研究方法丰富起来，以便有更多的发现，更多的收获

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【参考文献】

【1】王扬    赵小云著  《从分析解题过程学解题—竞赛中的几何问题》[M]哈尔滨哈尔滨工业大学出版社 2018，412-415.

【2】李建潮  一道奥赛题的加强、推广及衍生  数学通讯[J]湖北武汉  2018，8月（下半月）43-46.